纸上谈兵: 图 (graph)

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是四种 比较松散的数据实物。它有其他节点(vertice),在其他节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也出先过,人们人们人们人们人们人们 通常在节点中储存数据。边表示另另三个白节点之间的位于关系。在树中,人们人们人们人们人们人们 用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是四种 特殊的图,但限制性更强其他。

后来的四种 数据实物是很常见的。比如计算机网络,要是由其他节点(计算机而且路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统也都要理解为图,地铁站都要认为是节点。基于图有其他经典的算法,比如求图中另另三个白节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥问题图片(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市饱含根小河流过,河饱含另另三个白小岛。有七座桥桥连接河的两岸和另另三个白小岛。送信员总想知道,有都还都里能 另另三个白方式,能不重复的走过7个桥呢?

(你这些问题图片在其他奥数教材中称为"一笔画"问题图片)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的都要看作由7个边和另另三个白节点构成的另另三个白图:

你这些问题图片最终被欧拉巧妙的外理。七桥问题图片也启发了一门新的数科人学科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,而且某个节点就有起点而且终点,都还都里能 连接它的边的数目都要为偶数个(从另另三个白桥进入,再从后来桥一蹶不振 )。对于柯尼斯堡的七桥,而且另另三个白节点都为奇数个桥,而最多都还都里能有另另三个白节点为起点和终点,全都 不而且一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。另另三个白图的所有节点构成另另三个白集合[$V$]。另另三个白边都要表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即另另三个白节点。而且[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,都还都里能 图是有向的(directed)。有序的边都要理解为单行道,都还都里能沿另另三个白方向行进。而且[$(v_1, v_2)$]无序,都还都里能 图是无向的(undirected)。无序的边都要理解成双向都要行进的道路。另另三个白无序的边都要看作连接相同节点的另另三个白反向的有序边,全都 无向图都要理解为有向图的四种 特殊状态。

(七桥问题图片中的图是无向的。城市中的公交线路都要是无向的,比如位于单向环线)

图的另另三个白路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也要是说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为另另三个白节点。路径里面的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,人们人们人们人们人们人们 会在挑选某个路径,来从A站到达B站。后来的路径而且有不止根小,人们人们人们人们人们人们 往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤状态,来挑选根小最佳的路线。而且位于根小长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,都还都里能 认为该图中位于环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中位于环路。

 

找到根小环路

而且从每个节点,到任意另另三个白其它的节点,就有根小路径的话,都还都里能 图是连通的(connected)。对于另另三个白有向图来说,后来的连通称为强连通(strongly connected)。而且另另三个白有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,都还都里能 认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

而且将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,后来的图而且是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间都还都里能 路径相连。

图的实现

四种 简单的实现图的方式是使用二维数组。让数组a的每一行为另另三个白节点,该行的不同元素表示该节点与其他节点的连接关系。而且[$(u, v) \in E$],都还都里能 a[u][v]记为1,而且为0。比如下面的另另三个白饱含另另三个白节点的图:

 

都要简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

你这些实现方式所位于的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而越快增多。而且边就有很密集,都还都里能 全都 数组元素记为0,都还都里能稀疏的其他数组元素记为1,全都 并就有很经济。

更经济的实现方式是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,人们人们人们人们人们人们 建立另另三个白链表。对于任意节点k,而且有[$(m, k) \in E$],就将该节点放上到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准方式。比如下面的图,

 

都要用如下的数据实物实现:

 

左侧为另另三个白数组,每个数组元素代表另另三个白节点,且指向另另三个白链表。该链表包饱含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表都要分为两每种。邻接表所位于的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组每种储存节点信息,位于[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,位于[$|E|$]的空间,即边的总数。在其他冗杂的问题图片中,定点和边还而且有其他的附加信息,人们人们人们人们人们人们 都要将那此附加信息储位于相应的节点而且边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

里面的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是四种 很简单的数据实物。图的组织方式比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法冗杂度。我将在后来介绍其他图的经典算法。

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